CS/알고리즘

[알고리즘] 최단경로 알고리즘

삶_ 2022. 7. 11. 14:59

최단경로 알고리즘

  • 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
  • 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
  • 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  • 모든 지점에서 다른 모든지점까지의 최단 경로

  • 각 지점을 그래프에서 노드로 표현
    지점간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현


다익스트라 최단경로 알고리즘

  • 특정한 노드에서 출발. 다른 모든 노드로 가는 최단경로 계산
  • 음의 간선이 없을때(음수가 아닐시) 정상적으로 동작함.
    그리디 알고리즘으로 분류됨
  • 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복
  1. 출발 노드를 설정
  2. 최단거리 테이블을 초기화함
  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단거리가 가장 짧은 노드를 선택
  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산, 최단거리 테이블을 갱신
  5. 위 과정에서 3,4반복

  • 매 상황마다 방문하지 않은 가장 비용이 작은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복
  • 단계를 거치며 한번 처리된 노드의 최단 거리는 고정됨
  • 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있음
  • 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단거리 정보가 저장됨
  • 간단한 구현방법
    • 단계마다 방문하지 않은 노드중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해
    • 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인한다
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) #무한값으로 10억 설정(임의의 값)

#노드의 개수 n, 간선의 개수 m를 입력 받음
n,m = map(int, input().split())
start = int(input()) #시작노드의 번호
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]

visited = [False] * (n+1) #방문한적 있는지 체크
distance = [INF] * (n+1) #최단거리 테이블을 무한값으로 초기화

#모든 간선 정보 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b,c)) #노드 정보리스트에 담기. (a번->b번 노드로 가는 거리가 c)

#방문하지 않은 노드 중, 가장 최단거리가 짧은 노드의 번호 반환
def get_smallest_node ():
    min_value = INF #비교할 값(무한값)
    Index = 0 #가장 최단 거리가 짧은 노드
    for i in range(1, n+1):
        # 방문 안했으며, 최단거리가 무한값보다 작을때 인덱스를 반환
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start): #시작번호에 대해 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True #지금 방문한 노드를 체크
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1] #가야할 노드의 최단거리 <= 현재노드가 가야할 노드와의 거리 대입
    
    #시작노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
        # 현재 가장 최단거리가 짧은 노드 인덱스를 꺼내서, 방문처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 고른 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1] #현재 노드까지 오는데 최단거리 + 다음노드로 가는데 거리
            if cost < distance[j[0]]: #위 거리크기가 다음 노드까지의 최단거리보다 작으면 (짧으면)
                distance[j[0]] = cost

#다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

#모든 노드로 가기위한 최단거리 출력
for i in range(1, n+1):
    #도달 할 수 없을 경우 무한이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i]) #최단거리 출력



다익스트라 알고리즘 : 우선순위 큐

  • 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조
  • 별도의 우선순위를 설정해야 함
  • 힙을 사용 (최대힙, 최소힙)

  • 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙 자료구조 이용
  • 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일
    • 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해, 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다름
    • 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로, 최소 힙 사용

import heapq

#오름차순 힙정렬
def heapsort(iterable):
	h = [] #힙
    result = [] #결과
    #모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
    	heapq.heappush(h, value)
    #힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
    	result.append(heapq.heappop(h)) #제일 작은수부터 가져오기. 최소힙
    return result

result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0])
print(result)

#결과: [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]



#내림차순 힙정렬
def heapsort(iterable):
	h = [] #힙
    result = [] #결과
    #모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
    	heapq.heappush(h, -value) #-붙으니까 9는 -9가 되고 제일 작아져서 앞에 서게됨
    #힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
    	result.append(-heapq.heappop(h)) #제일 작은수부터 가져오기. 에 - 붙여서 다시 절댓값으로 만듬
    return result

result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0])
print(result)

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline()
INF = int(1e9) #무한 값으로 10억 설정

#아래부분은 기존 다익스트라 알고리즘과 비슷함
#노드, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
#시작노드 번호를 입력받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 생성
graph = [[] for i in range(n+1)]
#최단거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF]*(n+1)

#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c = map(int, input().split())
    #a번 노드 -> b번노드로 가는 간선이 c이다
    graph[a].append((b,c)) #튜플 자료형 넣기


#아래부터 우선순위 큐를 이용
def dijkstra(start):
    q = [] #큐 생성
    #시작노드로 가기 위한 최단 거리는 0으로 설정. 큐에 튜플 삽입.
    heapq.heappush(q, (0, start))
    #시작노드의 최단거리 = 0
    distance[start] = 0
    while q: #큐가 비어있지 않을시 계속 실행
        #큐에 가장 최단거리가 짧은노드에 대한 정보 꺼내기(튜플)
        #튜플(최단거리=dist, 노드인덱스=now)
        dist, now = heapq.heappop(q)
        #현재노드가 이미 처리된 적 있으면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        #현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1] #cost = 현재 노드의 최단거리+다음노드 가는데 거리
            #위 값이 다음노드의 최단거리보다 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

dijkstra(start)

#모든 노드로 가기위한 최단 거리 출력하기
for i in range(1, n+1):
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])





플로이드 워셜 알고리즘

  • 모든 노드에서 다른 모든노드까지의 최단경로를 모두 계산함
  • 단계별로 거쳐가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행하되,
  • 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않음
  • 2차원 테이블에 최단거리정보를 저장
  • 다이나믹 프로그래밍 유형에 속함
  • 노드, 간선의 개수가 적을 때 주로 사용

  • 각 단계마다 특정한 노드 k 를 거쳐가는 경우를 확인
  • a에서 b로 가는 최단거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사
점화식 

#무한값 설정
INF = int(1e9)

n = int(input()) #노드의 개수
m = int(input()) #간선의 개수

#2차원 리스트를 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF]*(n+1) for _ in range(n+1)]

#자기자신에서 자기자신으로 가는 비용은 0으로 초기화 (의미없어서)
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if a==b: 
            graph[a][b] = 0

#간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    #a에서 b로 가는 비용은 c라고 설정
    a,b,c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

#점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
#k를 거칠때를 기준으로 (k가 1일때 1을 무조건 거치는 경우라던가의 예시)
for k in range(1, n+1):
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(1, n+1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

#수행된 결과 출력
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        #도달할 수 없는 경우, 무한으로 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end=" ")
        #도달할 수 있는 경우 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()




  • n개의 도시.
    각 도시는 보내고자 하는 메시지를 다른 도시로 보냄
  • X라는 도시 -> Y라는 도시 하려면
    도시 X에서 Y로 향하는 통로가 설치되어있어야 함
  • Y에서 X로 향하는 통로가 없으면 메시지 못보냄.
    메시지 보낼때 일정시간 소요됨.

  • C라는 도시에 위급상황 발생.
    최대한 많은 도시로 메시지를 보내고자 함.
  • 각 도시의 번호, 통로가 설치된 정보가 주어질 때,
    도시 C에서 보낸 메시지를 받게 되는 총 도시 갯수와, 도시들이 모두 메시지를 받는데 걸리는 시간을 계산하라.

  • 첫째줄에 도시의 개수 N, 통로의 개수 M, 메시지를 보내고자 하는 도시 C
    둘째줄~ M+1번째 줄에 걸쳐서 통로에 대한 정보 X,Y,Z가 주어짐
import heapq
import sys

INF = int(1e9)

#노드 개수, 간선 개수, 시작노드 입력받기
n,m,start = map(int, sys.stdin.readline().split())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기(0번 X)
graph = [[] for i in range(n+1)]
#최단거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] *(n+1)

#모든 간선 정보를 입력받기(1번부터~)
for _ in range(m):
    x,y,z = map(int, sys.stdin.readline().split())
    #x번 노드에서 y번 노드로 가는 비용 = z
    graph[x].append((y,z))


def dijkstra(start):
    q=[] #큐 초기화
    #시작 노드로 가기위한 최단 거리는 0으로 설정하여 q에 삽입 = 처음엔 0이니까
    #(최단거리, 시작노드)
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: #큐가 비어있지 않을때
        #dist = 최단거리, now = 시작노드
        dist, now = heapq.heappop(q)
        #가장 최단거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        if distance[now] < dist :
            continue
        #현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들 확인
        for i in graph[now]:
            # 최단거리 = 현재시점 시작노드로 가기위한 최단거리 + 현재 노드에서 가는 비용
            cost = dist + i[1]
            #현재 노드를 거쳐, 다른 노드로 이동하는 최단거리가 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                #(최단거리, 가장 짧은 최단거리의 노드번호)
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))



#다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

#도달할 수 있는 노드 개수
count = 0

#멀리있는 노드까지 가는데 총 걸리는 시간
#도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리있는 노드와의 최단거리
max_distance = 0
for d in distance:
    #도달할 수 있는 노드인 경우
    if d!= INF:
        max_distance = max(max_distance, d)

#시작 노드는 제외해야하니 count -1 출력
#총 도시갯수, 총걸리는 시간
print(count-1, max_distance)
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